Question

已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=______

已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于不同的P，Q两点，若OP⊥OQ（O为坐标原点），则m=______．

Answer 1

联立直线与圆方程得到：
（2y-3）²-（2y-3）+y²-6y+m=0
整理得：5y²-20y+（m+12）=0
则：y₁+y₂=4，y₁?y₂=

m+12

5

∴x₁?x₂=（-2y₁+3）?（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=4?

m+12

5

-15
已知OP⊥OQ
则，Kop*Koq=-1
即：y₁?y₂+x₁?x₂=0
∴

m+12

5

+4?

m+12

5

-15=0
即m+12-15=0
∴m=3
故答案为：3

Answer 2

将圆方程化简为标准式有：
[x+(1/2)]^2+(y-3)^2=(37-4m)/4
所以,圆心坐标为(-1/2,3)
联立直线与圆方程得到：
x^2+x+y^2-6y+m=0
x+2y-3=0
==> (2y-3)^2-(2y-3)+y^2-6y+m=0
==> 4y^2-12y+9-2y+3+y^2-6y+m=0
==> 5y^2-20y+(m+12)=0
==> y1+y2=4,y1y2=(m+12)/5
==> x1x2=(-2y1+3)(-2y2+3)=4y1y2-6(y1+y2)+9=4(m+12)/5-15
已知OP⊥OQ
则,Kop*Koq=-1
即：(y1/x1)*(y2/x2)=-1
==> y1y2+x1x2=0
==> (m+12)/5+4(m+12)/5-15=0
==> m+12-15=0
==> m=3