Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）= （a＞0），设h（x）=f（x）+g（x），（Ⅰ）求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若

已知函数f（x）=lnx，g（x）= （a＞0），设h（x）=f（x）+g（x），（Ⅰ）求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x 0 ，y 0 ），使得以P（x 0 ，y 0 ）为切点的切线的斜率k≥ 成立，求实数a的最大值；（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（ ）+m-1的图象于y=f（x 2 +1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

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Answer 1

解：（Ⅰ） ，其定义域为（0，+∞）， ， 令 ，则x=a， 于是，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为增函数， 当0＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）为减函数， 所以h（x）的单调增区间是（a，+∞），单调减区间是（0，a）； （Ⅱ）因为 ， 所以在区间x∈（0，3]上存在一点P（x 0 ，y 0 ）， 使得以P（x 0 ，y 0 ）为切点的切线的斜率 ， 等价于 ， 因为 ， 所以 在x∈（0，3]的最大值为 ， 于是a≤ ，a的最大值为 。 （Ⅲ）若 的图象与 的图象恰好有四个不同的交点， 即 有四个不同的根，亦即方程 有四个不同的根。 构造函数 ， 则F（x）的图象与x轴有四个不同的交点， ， 令 ， 当x变化时F′（x）和F（x）的变化情况如下表： 所以当 且 即 时，F（x）的图象与x轴有四个不同的交点， 解得 ， 所以存在 使得两个函数的图像恰好有四个不同的交点。