Question

（2014?黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=22，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求

（2014?黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=22，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．

Answer 1

解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，∴AF∥GE
∵GE?平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
 
（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG为四面体PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
EG=AF=

2

，GF=

1

2

CD=

2

，
S_△PCF=

1

2

PD?GF=2．
得四面体PEFC的体积V=

1

3

S_△PCF?EG=

2 2

3

．