Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且2nSn=（n+1）an，n∈N*（1）求an与Sn的表达式；（2）如果?k∈N*，使

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且2nSn=（n+1）an，n∈N*（1）求an与Sn的表达式；（2）如果?k∈N*，使得?k∈N*|ak+ak+1|?|Sk+Sk+1|∈[2012-m，2012+m]成立，求正数m的最小值．

Answer 1

解（1）由2nS_n=（n+1）a_n，知
当n≥2时，2nS_n=（n+1）（S_n-S_n-1），整理得：Sn＝?

n+1

n?1

Sn?1
所以Sn＝?

n+1

n?1

Sn?1＝?

n+1

n?1

(?

n

n?2

)Sn?2＝?

n+1

n?1

(?

n

n?2

)…(?

4

2

)(?

3

1

)S1．
而S₁=a₁=1，
所以Sn＝(?1)n?1

(n+1)n

2

，(n≥2)，
当n=1时，上式也等于1，所以Sn＝(?1)n?1

(n+1)n

2

，(n∈N*)
此时an＝

2nSn

n+1

＝(?1)n?1n2，  (n∈N*)
（2）由（1）知|a_k+a_k+1|=|（-1）^k-1k²+（-1）^k（k+1）²|=2k+1，|Sk+Sk+1|＝|(?1)k?1

k(k+1)

2

+(?1)k

(k+1)(k+2)

2

|＝k+1
由|a_k+a_k+1|?|S_k+S_k+1|∈[2012-m，2012+m]，知（k+1）（2k+1）∈[2012-m，2012+m]，
要使得正整数m取得最小值，则必须（k+1）（2k+1）充分靠近2012，
而（k+1）（2k+1）随着正整数k的增大而增大，
当k=30时，（k+1）（2k+1）=1891＜2012，
当k=31时，（k+1）（2k+1）=2016＞2012，
所以2012+m≥2016，m≥42012-m≤1891，m≥121，
综上，正整数m的最小值为4