如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．
如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．（1）求证：△AFC∽△GFB；（2）若△ADE是边...
如图，△ABC和△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．（1）求证：△AFC∽△GFB；（2）若△ADE是边长可变化的等腰直角三角形，并将△ADE绕点A旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当△BDE为等腰直角三角形时，求出AB：BE的值．
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（1）证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°．
∴∠DAB=∠EAC．
∴在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
又∵∠GFB=∠AFC，
∴△AFC∽△GFB．
（2）解：∵△AFC∽△GFB，
∴∠FGB=∠FAC=90°．
①当∠DEB=90°，DE=BE时，如图①所示，
设AD=AE=x，则DE＝
x．
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝
x．
∴BD=2x．
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB=45°+45°=90°，
∴AB＝
＝
x．
∴AB：BC=
：
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°．
∴∠DAB=∠EAC．
∴在△ADB和△AEC中，
|
∴△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
又∵∠GFB=∠AFC，
∴△AFC∽△GFB．
（2）解：∵△AFC∽△GFB，
∴∠FGB=∠FAC=90°．
①当∠DEB=90°，DE=BE时，如图①所示，
设AD=AE=x，则DE＝
| 2 |
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE＝
| 2 |
∴BD=2x．
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB=45°+45°=90°，
∴AB＝
| AD2+BD2 |
| 5 |
∴AB：BC=
| 5 |
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