Question

已知函数f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）

已知函数f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为-2，求实数a的值．

Answer 1

（1）要使函数有意义则

1+x＞0 3?x＞0

??1＜x＜3…（3分）
∴函数f（x）的定义域为（-1，3）…（4分）．
（2）∵f（x）=log_a（1+x）（3-x）=loga(?x2+2x+3)=loga[?(x?1)2+4]…（6分）
当0＜a＜1时，则当x=1时，f（x）有最小值log_a4，
∴log_a4=-2，a^-2=4，
∵0＜a＜1，∴a＝

1

2

…（9分）
当a＞1时，则当x=1时，f（x）有最大值log_a4，f（x）无最小值，
此时a无解…（10分），
综上知，所求a＝

1

2

．