Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，-2)．（1）求f（x）的解析式；（2）用五点作图法做出f（x）的图象（3）说明y=f（x）的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？（4）求函数的单调递减区间（5）当x∈[π12，π2]，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）由题意可知，T=

π

2

×2=π，A=2，ω=

2π

T

=2，
∵2sin(2?

2π

3

+φ) =-2，∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

所以函数：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
列表


（3）将由y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）
再横坐标缩小到原来的

1

2

倍，纵坐标不变得到函数y=sin（2x+

π

6

）
再横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到y=2sin（2x+

π

6

）．
（4）∵正弦函数的单调递减区间为[2kπ-

3π

2

，2kπ-

π

2

]，
∴2kπ-

3π

2

≤2x+

π

6

≤-

π

2

+2kπ，
解得kπ-

5π

6

≤x≤kπ-

π

3

，k∈Z；
（5）当x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，所以f（x）的值域为：[-1，2]．