Question

如图所示，在x-o-y坐标系中，以（r，0）为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小

如图所示，在x-o-y坐标系中，以（r，0）为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．在y＞r的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．从O点以相同速率向不同方向发射某种带正电粒子，粒子的运动轨迹均在纸面内，且粒子在磁场中运动的轨迹半径也为r．已知粒子的电荷量为q，质量为m，不计粒子所受重力及粒子间相互作用力的影响．（1）求粒子射入磁场时速度的大小；（2）若粒子沿x轴正方向射入磁场，求粒子从O点进入磁场到离开磁场经历的总时间；（3）若粒子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一象限的磁场中，求粒子在磁场中运动的总时间．（画图并计算）

Answer 1

（1）粒子射入磁场后做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

r

，解得：v=

qBr

m

；
（2）粒子沿x轴正向射入磁场后，在磁场中运动了

1

4

个圆周后，
以速度υ逆着电场方向进入电场，粒子在电场中先做匀减速直线运动．
然后做反向的匀加速直线运动，再返回磁场，在磁场中运动了

1

4

个圆周后离开磁场．
在磁场中运动周期：T=

2πm

qB

，质子在磁场中运动的时间：t₁=

1

2

T=

πm

qB

，
进入电场后做匀变速直线运动，加速度大小：a=

qE

m

，
质子在电场中运动的时间：t₂=

2v

a

=

2Br

E

，
运动总时间为：t=t₁+t₂=

πm

qB

+

2Br

E

；
（3）粒子运动轨迹如图所示：

当粒子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从第一象限射入磁场时，
设粒子将从A点射出磁场，如图所示，其中O₁、O₂分别为磁场区域圆和粒子轨迹圆的圆心．
由于轨迹圆的半径等于磁场区域圆的半径，所以OO₁AO₂为菱形，即AO₂平行x轴，
说明粒子以平行y轴的速度离开磁场，也以沿y轴负方向的速度再次进入磁场．∠O₂=90°-θ．
所以，粒子第一次在磁场中运动的时间：t₁′=

90°?θ

360°

T，
此后粒子轨迹圆的半径依然等于磁场区域圆的半径，设粒子将从C点再次射出磁场．
如图所示，其中O₁、O₃分别为磁场区域圆和质子轨迹圆的圆心，AO₃平行x轴．
由于O₁AO₃C为菱形，即CO₁平行AO₃，即平行x轴，说明C就是磁场区域圆与x轴的交点．这个结论与θ无关．
所以，OO₂O₃C为平行四边形，∠O₃=90°+θ，粒子第二次在磁场中运动的时间：t₂′=

90°+θ

360°

T，
质子在磁场中运动的总时间：t′=t₁′+t₂′=

1

2

T=

πm

qB

，故质子在磁场中运动的总时间为

πm

qB

．
答：（1）质子射入磁场时速度的大小为

qBr

m

．
（2）质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间为

πm

qB

+

2Br

E

．
（3）质子在磁场中运动的总时间为

πm

qB

．