Question

已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)＝f(x)+g(x)?|f(x)?g(x)|2的最大值；（2）如果

已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）求函数M(x)＝f(x)+g(x)?|f(x)?g(x)|2的最大值；（2）如果对f（x2）f（x）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），
∴M（x）=

3?2log2x，x＞2 log2x，0＜x≤2

当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（2）由f（x²）f（

x

）＞kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k?log₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，2]恒成立．
①当t=0时，k∈R；
②当t∈（0，2]时，k＜

(3?4t)(3?t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15，
∵4t+

9

t

≥12，当且仅当4t=

9

t

，即t=

3

2

时取等号．
∴4t+

9

t

-15的最小值为-3，∴k＜-3．
综上k的取值范围是k＜-3．