Question

证明方程x*2的x次方=1至少有一个小于1的正根

Answer 1

证明：方程x*2^x-1=0在[0，1]之间至少有一个实根.

证明： 设f(x)=x*2^x-1，
∵f(x)在[0，1]上连续，
又f(0)=-1<0,f(1)=1>0,即f(0)与f(1)异号。
由【零点存在定理】：若函数f(x)在闭区间[a,b]连 续,且f(a)与f(b)异号（ 即 f(a)·f(b)<0 ）,则一定存在
x.∈（a,b）,使得 f(x.)=0
( x.也称作 f(x)的零点)

知： 在0与1之间至少有一个点x. ,
使得 f(x.)=0,即 x.*2^x.-1=0，
所以 x.是x*2^x-1=0的一个实根.

Answer 2

令F(x)=x*2^x-1，显然是连续函数。
F(0)=-1<0,F(1)=1>0,所以由介值定理可得：在(0,1)内存在一点X0，使得F(X0)=0。
即原方程至少有一个小于1的正根

Answer 3

迷失自我所以追剧拒绝你