如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,D是BC边上一点,CD=3,点P在边AC上(点P与A、C不重合),过点
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,D是BC边上一点,CD=3,点P在边AC上(点P与A、C不重合),过点P作PE∥BC,交AD于点E.(1)设AP...
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,D是BC边上一点,CD=3,点P在边AC上(点P与A、C不重合),过点P作PE∥BC,交AD于点E.(1)设AP=x,DE=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时,求∠DPE的正切值;(3)将△ABD沿直线AD翻折,得到△AB′D,连接B′C.如果∠ACE=∠BCB′,求AP的值.
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(1)∵在Rt△ABC中,AC=4,CD=3,
∴AD=5,
∵PE∥BC,
∴
=
,
∴
=
,
∴AE=
x,
∴DE=5-
x,
即y=5-
x,(0<x<4);
(2)当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时,有DE=PE+BD,即5-
x=
x+2,
解之得x=
,
∴PC=
,
∵PE∥BC,
∴∠DPE=∠PDC,
在Rt△PCD中,
tan∠PDC=
=
=
;
∴tan∠DPE=
;
(3)延长AD交BB′于F,则AF⊥BB′,连接CE,
则∠ACD=∠BFD,
∵∠ADC=∠FDB,
∴∠CAD=∠FBD,
∴△ACD∽△BFD,
∴BF=
,
∴BB′=
,
∵∠ACE=∠BCB′,∠CAE=∠CBB′,
∴△ACE∽△BCB′,
∴AE=
,
∴AP=
.
∴AD=5,
∵PE∥BC,
∴
AP |
AC |
AE |
AD |
∴
x |
4 |
AE |
5 |
∴AE=
5 |
4 |
∴DE=5-
5 |
4 |
即y=5-
5 |
4 |
(2)当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时,有DE=PE+BD,即5-
5 |
4 |
3 |
4 |
解之得x=
3 |
2 |
∴PC=
5 |
2 |
∵PE∥BC,
∴∠DPE=∠PDC,
在Rt△PCD中,
tan∠PDC=
PC |
CD |
| ||
3 |
5 |
6 |
∴tan∠DPE=
5 |
6 |
(3)延长AD交BB′于F,则AF⊥BB′,连接CE,
则∠ACD=∠BFD,
∵∠ADC=∠FDB,
∴∠CAD=∠FBD,
∴△ACD∽△BFD,
∴BF=
8 |
5 |
∴BB′=
16 |
5 |
∵∠ACE=∠BCB′,∠CAE=∠CBB′,
∴△ACE∽△BCB′,
∴AE=
64 |
25 |
∴AP=
256 |
125 |
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