Question

在四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=4，AD=6，∠A+∠C=π．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积

在四边形ABCD中，AB=2，BC=CD=4，AD=6，∠A+∠C=π．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，连接AC，
依题意可知：∠B+∠D=π，即∠D=π-∠B，
又AB=2，BC=CD=4，AD=6，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB?BC?cosB=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+DC²-2AD?DC?cosD=6²+4²-2×6×4cosD=52-48cosD=52+48cosB，
由20-16cosB=52+48cosB，解得：cosB=-

1

2

，
从而AC²=20-16cosB=28，即AC=2

7

；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=sinD=

3

2

，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

1

2

AB?BCsinB+

1

2

AD?CDsinD=2

3

+6

3

=8

3

．…（12分）