Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D、E、F分别是BC，PB，CA的中点．（1）证明平面P

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D、E、F分别是BC，PB，CA的中点．（1）证明平面PBF⊥平面PAC；（2）判断AE是否平行于平面PFD，并说明理由；（3）若PC=AB=2，求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

（1）∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．
∴PC⊥BF．由条件得BF⊥AC，PC∩AC=C．
∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，
∴平面PBF⊥平面PAC．
（2）：AE不平行于平面PFD．
反证法：假设AE∥平面PFD，
∵AB∥FD，FD?平面PFD．
∴AB∥平面PFD．
∵AE∩AB=A，
∴平面ABE∥平面PFD．
∵P∈平面PFD，P∈平面ABE．矛盾．
则假设不成立，
所以：AE不平行于平面PFD
（3）∵D，E，F分别为BC，PB，CA的中点．
∴V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC=V_E-BDF
=

1

2

V_P-BDF
=

1

2

×

1

3

×S_△BDF?PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

S_△ABC?PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

×

1

2

×2×2×

3

2

×2
=

3

12

．