Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．（1）求证：BC

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若BC=4，PB=10，求四棱锥C-ADMP的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，∴MD⊥AB．
∵M是PB的中点，D是AB的中点，∴MD∥PA，故PA⊥AB．
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．…（8分）
（2）解：∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…（9分）
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∵PB=10，M是PB的中点，∴MB=5．
∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…8分
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∴S_△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×3×4=3．…9分
∵MD=

52?( 5 2 )2

=

5 3

2

，
由（1）知MD∥PA，∴MD⊥DC．
在△ABC中，CD=

1

2

AB=

5

2

，
∴S_△MCD=

1

2

×

5 3

2

×

5

2

=

25 3

8

．…10分
∴V_M-BCD=V_B-MCD=

1

3

×3×

5 3

2

=

5 3

2

，
在Rt△PCB中，PC=

PB2?BC2

=

84

，PA=2MD=5

3

故V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×AC×BC×PA=

1

3

×

1

2

×3×4×5

3

=10

3

∴四棱锥C-ADMP的体积=V_P-ABC-V_M-BCD=10

3

-

5 3

2

=

15 3

2

…12分．