Question

已知等差数列{an}满足：a3=5，a4+a8=22．{an}的前n项和为sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求使得sn

已知等差数列{an}满足：a3=5，a4+a8=22．{an}的前n项和为sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求使得sn＞5n成立的最小正整数n的值．（3）设cn=（-1）n+1?an?an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，∴a₆-a₃=3d=11-5=6，∴d=2，∴a₁=1，∴a_n=2n-1． …（3分）
（2）sn＝

n(2n?1+1)

2

＝n2，∴n²＞5n，故n的最小正整数为6．…（6分）
（3）c_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ⁺¹（4n²-1）=

4n2?1(n为奇数) 1?4n2(n为偶数)

…（8分）
①n为奇数时，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+4n²-1
=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n-1）²-（n-2）² ）+4n²-1
=-4（3+7+11+…+2n-3）+4n²-1=2n²+2n-2，…（10分）
②n为偶数时，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+1-4n²
=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n）²-（n-1）²）
-4（3+7+11+…+2n-1）=-2n²-2n，…（12分）
∴Tn＝

2n2+2n?2(n为奇数) ?2n2?2n(n为偶数)

．…（14分）