Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，点M是SC的中点，且SA=AB=BC

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，点M是SC的中点，且SA=AB=BC=1，AD=12．（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求证：DM∥平面SAB；（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值．

Answer 1

解答：（1）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD
∴AB⊥SA，AB⊥AD
∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴侧棱SA⊥底面ABCD
∴四棱锥S-ABCD的体积为

1

3

×

1

2

×（

1

2

+1）×1×1=

1

4

；
（2）证明：取SB的中点N，则

∵点M是SC的中点，∴MN∥BC，MN=

1

2

BC
∵底面是直角梯形，BC=1，
∴AD∥BC且AD=

1

2

BC
∴MN∥AD且MN=AD
∴四边形MNAD是平行四边形
∴DM∥AN
∵DM?平面SAB，AN?平面SAB
∴DM∥平面SAB；
（3）解：∵侧棱SA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴BC⊥SA
∵AB⊥BC，AB、SA是平面SAB内的两条相交直线
∴BC⊥平面SAB，垂足是点B
∴SB是SC在平面SAB内的射影，BC⊥SB
∴∠BSC是直线SC和平面SAB所成的角
∵在Rt△SBC中，BC=1，SB＝

2

，∴SC＝

3

∴sin∠BSC＝

BC

SC

＝

3

3

∴直线SC和平面SAB所成的角的正弦值是

3

3

．