Question

两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角放置，两导轨间距L=1m，M、P两点间接有阻值R=6Ω的

两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角放置，两导轨间距L=1m，M、P两点间接有阻值R=6Ω的电阻．在图中所示的abcd区域内有垂直导轨平面向上的匀强磁场，ab、cd分别垂直于MN、PQ，ac间距s=2m，磁感应强度B=0.4T．将一根质量m=0.1kg，电阻r=2Ω的均匀直金属杆置于两导轨上与磁场边界cd重合的位置（导轨和金属杆接触良好，导轨的电阻不计，g取10m/s2）（1）若要金属杆静止于磁场的cd边界处，所施加的沿导轨向上的外力F为多大？（2）若在金属杆上施加一沿导轨的恒定外力F使杆由静止沿导轨向上运动，分析并说明金属杆刚开始运动的一段时间内做何种运动？（3）若金属杆受到的沿导轨向上的外力大小满足F=0.02v+0.6（N）（v为金属杆运动速度），并已知在金属杆通过磁场区域的过程中电阻R上产生的热量Q=3J，求这个过程中外力F做的功是多少？

Answer 1

（1）当金属杆静止于cd边界处时，其受到的力为重力mg、导轨的支持力F_N和外力F，由共点力平衡得出：F=mgsinθ=0.5N
（2）若在金属杆上施加一沿导轨的恒定外力F时，金属杆受力如图
当金属杆的速度为v时，电路中的电流为：I=

BLv

R+r

金属棒受到的安培力为：F_A=

B2L2v

R+r

…①
金属杆运动的加速度为：a=

F?mgsinθ?FA

m

＝

F?mgsinθ

m

?

B2L2v

m((R+r)

… ②
分析②式可知：当速度v增大时，加速度a减小，即在开始运动的一段时间内，金属杆作加速度减小的加速运动．
（3）当金属杆的速度为v时，由①式代入数据得：F_A=0.02v
将F=0.02v+0.6、F_A=0.02v及其他数据代入②式，得：a=1m/s²
即金属杆做匀加速运动，由v²=2as可求出金属杆运动到磁场边界ab时速度为：v=2m/s
对金属杆通过磁场的过程应用动能定理：
WF?WA?WG＝

1

2

mv2 
其中，克服安培力做的功W_A大小等于对应过程中电路中焦耳热的大小为：
WA＝Q总＝

R+r

R

?Q＝4J
克服重力做的功为：W_G=mgsinθ=1J
又

1

2

mv2＝0.2J
解得：W_F=5.2J
答：（1）若要金属杆静止于磁场的cd边界处，所施加的沿导轨向上的外力F为0.5N；
（2）若在金属杆上施加一沿导轨的恒定外力F使杆由静止沿导轨向上运动，金属杆刚开始运动的一段时间内做加速度减小的加速运动；
（3）若金属杆受到的沿导轨向上的外力大小满足F=0.02v+0.6（N）（v为金属杆运动速度），并已知在金属杆通过磁场区域的过程中电阻R上产生的热量Q=3J，求这个过程中外力F做的功是5.2J．