Question

已知函数f（x）= - x 2 +ax，x≤1 2ax-5，x＞1

已知函数f（x）= - x 2 +ax，x≤1 2ax-5，x＞1 ，若存在x 1 ，x 2 ∈R且f（x 1 ）=f（x 2 ）成立，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＜4 C．2≤a＜4 D．a＞2

Answer 1

解：当x≤1时，f（x）=-x 2 +ax，开口向下，对称轴为x= ， x＞1时，一次函数y=2ax-5恒过点（0，-5），是一条直线，与x轴的交点（ ，0）， 根据存在x1，x2∈R且f（x 1 ）=f（x 2 ）成立， 当 ＜1时，即a＜2，对称轴小于1，开口向下， 此时直线y=2ax-5，与x轴的交点（ ，0），此时 ＞ ， 如下图： 肯定存在x1，x2∈R且f（x 1 ）=f（x 2 ）成立，满足条件；即a＜2；当a≥2时，对称轴大于1，存在x 1 ，x 2 ∈R且f（x 1 ）=f（x 2 ）成立， 如下图： 直线y=2ax-5在直线l处肯定不行，在m处可以，此时需要：二次函数y=-x 2 +ax，在x=1处的函数值，大于等于一次函y=2ax-5数在x=1处的函数值，可得在x=1处有1+a＞2a-5，即2≤a＜4，综上得a＜4；故选B；