Question

如图所示，半径R=0.8m的光滑 1 4 圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处

如图所示，半径R=0.8m的光滑 1 4 圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入 1 4 圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=45°，在轨道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s 2 ．求：（1）小物块刚到达C点时的速度大小；（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为多少？

Answer 1

（1）小物块从A到C，根据机械能守恒有： mg?2R= 1 2 mv 2C ， 解得：v C = 4gR = 4×10×0.8 m/s=4 2 m/s． （2）小物块刚要到C点，由牛顿第二定律有： F N -mg= m v 2C R ， 解得：F N =mg+ m v 2C R =1×10+ 1×(4 2 ) 2 0.8 N=50N． 由牛顿第三定律，小物块对C点的压力F N ′=50N，方向竖直向下． （3）设小物块刚滑到木板右端时达到共同速度，大小为v，小物块在长木板上滑行过程中，小物块与长木板的加速度分别为 a m = μmg m a M = μmg M 由运动学公式得：v=v C -a m t，v=a M t 由能量守恒定律得：-μmgL= 1 2 （M+m）v 2 - 1 2 mv 2C 联立解得：L=4m． 答：（1）小物块刚到达C点时的速度大小为4 2 m/s； （2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力为50N； （3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为4m．