已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△...
已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E′DC,射线DE′交直线BM于点G.(1)如图1,当CD⊥EF时,求BF的值;(2)如图2,当点G在点F的右侧时;①求证:△BDF∽△BGD;②设AE=x,△DFG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)如果△DFG的面积为63,求AE的长.
展开
1个回答
展开全部
(1)∵∠ACB=90°,AD=BD,
∴CD=AD=BD,
∵∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠ACD=60°,∠ABC=30°,AD=BD=AC,
∵AC=4,
∴AD=BD=AC=4,
∵BM∥AC,
∴∠MBC=∠ACB=90°,
又∵CD⊥EF,
∴∠CDF=90°,
∴∠大御BDF=30°,
∴∠BFD=30°,
∴∠BDF=∠BFD,
∴BF=BD=4;
(2)①证明:由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,
∴∠ADC=∠E′CD,
∴CE′∥AB,
∴∠CE′D=∠BDG,
∵BM∥兄昌AC,
∴∠CED=∠BFD,
又∵∠CE′D=∠CED,
∴∠BDG=∠BFD,
∵∠DBF=∠GBD,
∴△BDF∽△BGD;
②由△BDF∽△BGD,得
=
,
∵D为AB的中点,
∴BD=AD,
又∵BM∥AC,
∴∠DBF=∠DAE,∠BFD=∠DEA,
在△BFD和△AED中,
∵
,
∴△BFD≌△AED(AAS),
∴BF=AE=x,
∴
=
,
∴BG=
,
在Rt△ABC中,AB=8,AC=4,
根据勾股定理得:BC=
=4
,
∵点D到直线BM的距离d=
BC=2
,
∴S△DFG=
FG?d=
(BG-BF)?d,即y=
×(
-x)×2
=
-
x(0<x<4);
(3)(i)当点G在点F的右侧时,
由题意,得6
=
-
x,
整理,得x2+6x-16=0,
解得x1=2,x2=-8(不合题意,舍去);
(ii)当点G在点F的左侧时,如图3所示:
同理得到S△DFG=
FG?d=
(BF-BG)?d,即y=
x-
(x>4),羡仿扒
由题意,得6
=
x-
,
整理,得x2-6x-16=0,
解得x3=8,x4=-2(不合题意,舍去),
综上所述,AE的值为2或8.
∴CD=AD=BD,
∵∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠ACD=60°,∠ABC=30°,AD=BD=AC,
∵AC=4,
∴AD=BD=AC=4,
∵BM∥AC,
∴∠MBC=∠ACB=90°,
又∵CD⊥EF,
∴∠CDF=90°,
∴∠大御BDF=30°,
∴∠BFD=30°,
∴∠BDF=∠BFD,
∴BF=BD=4;
(2)①证明:由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,
∴∠ADC=∠E′CD,
∴CE′∥AB,
∴∠CE′D=∠BDG,
∵BM∥兄昌AC,
∴∠CED=∠BFD,
又∵∠CE′D=∠CED,
∴∠BDG=∠BFD,
∵∠DBF=∠GBD,
∴△BDF∽△BGD;
②由△BDF∽△BGD,得
BF |
BD |
BD |
BG |
∵D为AB的中点,
∴BD=AD,
又∵BM∥AC,
∴∠DBF=∠DAE,∠BFD=∠DEA,
在△BFD和△AED中,
∵
|
∴△BFD≌△AED(AAS),
∴BF=AE=x,
∴
x |
4 |
4 |
BG |
∴BG=
16 |
x |
在Rt△ABC中,AB=8,AC=4,
根据勾股定理得:BC=
AB2?AC2 |
3 |
∵点D到直线BM的距离d=
1 |
2 |
3 |
∴S△DFG=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
16 |
x |
3 |
16
| ||
x |
3 |
(3)(i)当点G在点F的右侧时,
由题意,得6
3 |
16
| ||
x |
3 |
整理,得x2+6x-16=0,
解得x1=2,x2=-8(不合题意,舍去);
(ii)当点G在点F的左侧时,如图3所示:
同理得到S△DFG=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
16
| ||
x |
由题意,得6
3 |
3 |
16
| ||
x |
整理,得x2-6x-16=0,
解得x3=8,x4=-2(不合题意,舍去),
综上所述,AE的值为2或8.
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询