Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；（2）如图2，当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE=x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）如果△DFG的面积为63，求AE的长．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①证明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
②由△BDF∽△BGD，得

BF

BD

=

BD

BG

，
∵D为AB的中点，
∴BD=AD，
又∵BM∥AC，
∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，
在△BFD和△AED中，
∵

∠DBF＝∠DAE ∠BFD＝∠DEA BD＝AD

，
∴△BFD≌△AED（AAS），
∴BF=AE=x，
∴

x

4

=

4

BG

，
∴BG=

16

x

，
在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，
根据勾股定理得：BC=

AB2?AC2

=4

3

，
∵点D到直线BM的距离d=

1

2

BC=2

3

，
∴S_△DFG=

1

2

FG?d=

1

2

（BG-BF）?d，即y=

1

2

×（

16

x

-x）×2

3

=

16 3

x

-

3

x（0＜x＜4）；

（3）（i）当点G在点F的右侧时，
由题意，得6

3

=

16 3

x

-

3

x，
整理，得x²+6x-16=0，
解得x₁=2，x₂=-8（不合题意，舍去）；
（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：

同理得到S_△DFG=

1

2

FG?d=

1

2

（BF-BG）?d，即y=

3

x-

16 3

x

（x＞4），
由题意，得6

3

=

3

x-

16 3

x

，
整理，得x²-6x-16=0，
解得x₃=8，x₄=-2（不合题意，舍去），
综上所述，AE的值为2或8．