已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED

已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△... 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E′DC,射线DE′交直线BM于点G.(1)如图1,当CD⊥EF时,求BF的值;(2)如图2,当点G在点F的右侧时;①求证:△BDF∽△BGD;②设AE=x,△DFG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)如果△DFG的面积为63,求AE的长. 展开
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(1)∵∠ACB=90°,AD=BD,
∴CD=AD=BD,
∵∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠ACD=60°,∠ABC=30°,AD=BD=AC,
∵AC=4,
∴AD=BD=AC=4,
∵BM∥AC,
∴∠MBC=∠ACB=90°,
又∵CD⊥EF,
∴∠CDF=90°,
∴∠BDF=30°,
∴∠BFD=30°,
∴∠BDF=∠BFD,
∴BF=BD=4;

(2)①证明:由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,
∴∠ADC=∠E′CD,
∴CE′∥AB,
∴∠CE′D=∠BDG,
∵BM∥AC,
∴∠CED=∠BFD,
又∵∠CE′D=∠CED,
∴∠BDG=∠BFD,
∵∠DBF=∠GBD,
∴△BDF∽△BGD;
②由△BDF∽△BGD,得
BF
BD
=
BD
BG

∵D为AB的中点,
∴BD=AD,
又∵BM∥AC,
∴∠DBF=∠DAE,∠BFD=∠DEA,
在△BFD和△AED中,
∠DBF=∠DAE
∠BFD=∠DEA
BD=AD

∴△BFD≌△AED(AAS),
∴BF=AE=x,
x
4
=
4
BG

∴BG=
16
x

在Rt△ABC中,AB=8,AC=4,
根据勾股定理得:BC=
AB2?AC2
=4
3

∵点D到直线BM的距离d=
1
2
BC=2
3

∴S△DFG=
1
2
FG?d=
1
2
(BG-BF)?d,即y=
1
2
×(
16
x
-x)×2
3
=
16
3
x
-
3
x(0<x<4);

(3)(i)当点G在点F的右侧时,
由题意,得6
3
=
16
3
x
-
3
x,
整理,得x2+6x-16=0,
解得x1=2,x2=-8(不合题意,舍去);
(ii)当点G在点F的左侧时,如图3所示:

同理得到S△DFG=
1
2
FG?d=
1
2
(BF-BG)?d,即y=
3
x-
16
3
x
(x>4),
由题意,得6
3
=
3
x-
16
3
x

整理,得x2-6x-16=0,
解得x3=8,x4=-2(不合题意,舍去),
综上所述,AE的值为2或8.
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