Question

二阶常系数微分方程。。。要过程。。谢谢

Answer 1

首先除以(x^2-2x)
y''-(x^2-2)/(x^2-2x)y'+(2x-2)/(x^2-2x) y=(6x-6)/(x^2-2x)
只需求y''-(x^2-2)/(x^2-2x)y'+(2x-2)/(x^2-2x) y=0（二价齐次线性方程）的通解。
下面部份是多余的，只是要你明白原理：
由于y''+P(x)y'+q(x)y=f(x)中，如果y=u(x),y=g(x)，y=m(x)都是特解：
则：u''+p(x)y'+q(x)u=f(x)
g''+p(x)g'+q(x)g=f(x)
两者相减：
(u''-g'')+p(x)(y'-g')+q(x)(u-g)=0
可设K(x)=u-g, 则：k'(x)=u'-g' k''=u''-g''
如是：K(x)''+p(x)k'+q(x)k=0
很明显，k即为y''+P(x)y'+q(x)y=的一个特解。
应用以上原理：
y1=3 y2=3+x^2 y3=3+x^2+e^x都是y''-(x^2-2)/(x^2-2x)y'+(2x-2)/(x^2-2x) y=(6x-6)/(x^2-2x)的特解。
所认：y2-y1=x^2, y3-y2=e^x是y''-(x^2-2)/(x^2-2x)y'+(2x-2)/(x^2-2x) y=0的特解。
由于(e^x)/x^2不是常数，故它们线性无关。
所以：y''-(x^2-2)/(x^2-2x)y'+(2x-2)/(x^2-2x) y=0的通解为：
y=c1x^2+c2(e^x)
又y1=3是原方程特解
所以：通解为：
y=c1x^2+c2(e^x)+3