Question

如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF ∥ BC交AB、AC于E、F．试回答：（1）图中

如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF ∥ BC交AB、AC于E、F．试回答：（1）图中等腰三角形是______．猜想：EF与BE、CF之间的关系是______．理由：（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是______．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE ∥ BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．

Answer 1

（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF ∥ BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF．

（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO ∥ BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．