Question

在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°，tan∠ BAC = . 点 D 在边 AC 上（不与 A ， C 重合），连结 BD ， F 为 B

在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°，tan∠ BAC = . 点 D 在边 AC 上（不与 A ， C 重合），连结 BD ， F 为 BD 中点. （1）若过点 D 作 DE ⊥ AB 于 E ，连结 CF 、 EF 、 CE ，如图1．设 ，则 k = ；（2）若将图1中的△ ADE 绕点 A 旋转，使得 D 、 E 、 B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图2所示．求证： BE - DE =2 CF ；（3）若 BC =6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中点，求线段 CF 长度的最大值．

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Answer 1

（1） k =1（2）证明 ，则可得 . （3）当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为

试题分析：解：（1） k =1；                                                              .                     （2）如图2，过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G ，设 BD 与 AC 的交点为 Q . 由题意，tan∠ BAC = ， ∴ . ∵ D 、 E 、 B 三点共线， ∴ AE ⊥ DB . ∵∠ BQC =∠ AQD ，∠ ACB =90°, ∴∠ QBC =∠ EAQ. ∵∠ ECA+ ∠ ACG =90°，∠ BCG+ ∠ ACG =90°， ∴∠ ECA =∠ BCG . ∴ . ∴ . ∴ GB = DE. ∵ F 是 BD 中点， ∴ F 是 EG 中点. 在 中， , ∴ .                        .                      .                 （3）情况1：如图，当 AD = 时，取 AB 的中点 M ，连结 MF 和 CM ， ∵∠ ACB =90°， tan∠ BAC = ，且 BC = 6, ∴ AC =12， AB = . ∵ M 为 AB 中点，∴ CM = , ∵ AD = ， ∴ AD = . ∵ M 为 AB 中点， F 为 BD 中点， ∴ FM = = 2. ∴当且仅当 M 、 F 、 C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大，此时 CF = CM + FM = . 情况2：如图，当 AD = 时，取 AB 的中点 M ，连结 MF 和 CM ， 类似于情况1，可知 CF 的最大值为 .              .                      6分 综合情况1与情况2，可知当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为    点评：本题难度较大。主要考查学生对综合型几何题的掌握与灵活运用。这类题型需要学生多培养数形结合思想，多做训练来提高题感和反应能力，为中考常考题型，要牢固掌握。