Question

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交D

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG?BG=4，求BE的长．

Answer 1

（1）见解析 （2）4

（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置， ∴△BCE≌△DCF， ∴∠FDC=∠EBC， ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE=∠EBC， ∴∠FDC=∠EBD， ∵∠DGE=∠DGE， ∴△BDG∽△DEG． （2）解：∵△BCE≌△DCF， ∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°， ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC， ∴∠BEC=67.5°=∠DEG， ∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°， 即BG⊥DF， ∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠BDF=∠F， ∴BD=BF， ∴DF=2DG， ∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4， ∴ = ， ∴BG×EG=DG×DG=4， ∴DG 2 =4， ∴DG=2， ∴BE=DF=2DG=4．   （1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可； （2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．