Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，若 S n =2 a n +n，且 b n = a n -1 a n a

已知数列{a n }的前n项和为S n ，若 S n =2 a n +n，且 b n = a n -1 a n a n+1 ．（1）求证：{a n -1}为等比数列；（2）求数列{b n }的前n项和．

Answer 1

（1）由题意可得：当n≥2时，由 a n =S n -S n-1 =2a n +n-（2a n-1 +n-1），可得 a n =2a n-1 -1，…（2分） ∴a n+1 -1=2（a n-1 -1）．…（4分） 又因为S 1 =2a 1 +1，所以a 1 =-1，a 1 -1=-2≠0， ∴{a n -1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．…（7分） （2）由（1）知， a n -1=-2× 2 n-1 =- 2 n ，即 a n =- 2 n +1 ，…（9分） ∴ b n = - 2 n (1- 2 n )(1- 2 n+1 ) = 1 2 n+1 -1 - 1 2 n -1 ，（11分） 故 T n =-[( 1 2-1 - 1 2 2 -1 )+( 1 2 2 -1 - 1 2 3 -1 )+…+( 1 2 n -1 - 1 2 n+1 -1 )]= 1 2 n+1 -1 -1 ．（14分）