Question

设f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若当1≤x≤74，f（x

设f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若当1≤x≤74，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）由题设知：|x-1|+|x-2|-3＞0，
∴

x≥2 x?1+x?2＞3

 ①，或 

1≤x＜2 x?1?x+2＞3

 ②，或

x ＜1  ?x+1?x+2＞3

 ③．
解①可得 x＞3，解②可得x∈?，解③可得 x＜0．
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集，求得函数的定义域为 （-∞，0）∪（3，+∞）．
（II）不等式f（x）≥0 即|x-1|+m|x-2|-3≥1，即 m≥

2?|x?1|

|x?2|

．
∵1≤x≤

7

4

，∴m≥

2?(x?1)

2?x

=

2?x+1

2?x

=1+

1

2?x

，即 m≥1+

1

2?x

．
由于函数y=1+

1

2?x

在[1，