Question

已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=x-(1/2)x^2+ax^3,a为常数. 求（1）f(x)的定义域 （2）若a...

已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=x-(1/2)x^2+ax^3,a为常数. 求（1）f(x)的定义域 （2）若a=0时，对于x属于M，比较f(x)与g(x)的大小 （3）对任意x属于M，不等式f(x)小于等于g(x)恒成立，求实数a的值。

Answer 1

1、x>-1
2、h(x)=f(x)-g(x)则 h'(x)=1/(1+x)-(1-x)=x^2/(1+x)，在x>(-1)时，h'(x)>0，h(x)单调增，又h(0)=0则当x在（-1,0)上时，h(x)<0，即g(x)>f(x)，当x=0,g(x)=f(x),当x在(0,正无穷）时，h(x)>0,即g(x)<f(x)。
3、h'(x)=1(1+x)-(1-x+3ax^2)=(1-3a-3ax)*(x^2/(1+x))显然f(0)=0,g(0)=0，若条件给定的不等式恒成立，则必有h'(0)=0且h'(0+)<0,h'(0-)>0，此即要求（1-3a)=0,3a不能为零。即a=1/3。（题目算到这里应该给满分了，但严格说来应当加一句，由h'在相应范围内的将单调性，这个a 值保证了不等式恒成立）
4、麦克劳林公式，ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4……，即ln(1+x)与其展开式的近似程度。