Question

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，△PF1F2的周长为16，直线2x+y=

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，△PF1F2的周长为16，直线2x+y=4经过椭圆上的顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆同时被直线l1：10x-5y-21=0与l2：10x-15y-33=0平分，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设椭圆的半焦距为c，则根据题意，
得

b＝4 2a+2c＝16 a2＝b2+c2

，
解得

a＝5 c＝3

，
∴b=4，
∴

x2

25

+

y2

16

＝1，
所以椭圆的标准方程为：

x2

25

+

y2

16

＝1．
（2）设AB的中点为M（x，y），则

10x?5y?21＝0 10x?15y?33＝0

，
∴

x＝ 3 2 y＝? 6 5

，
∴M（

3

2

，-

6

5

），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
将A、B点的坐标代人椭圆的标准方程，得
∴

x12 25 + y12 16 ＝1 x22 25 + y22 16 ＝1

，
两式相减，得

x12?x22

25

+

y12?y22

16

＝0，
∴

(x1?x2)(x1+x2)

25

+

(y1?y2)(y1+y2)

16

=0，
又∵AB的中点为M（

3

2

，-

6

5

），
∴x₁+x₂=3，y₁+y₂=-

12

5

，
∴

3

25

(x1?x2)?

3

20

(y1?y2)＝0，
∴

y1?y2

x1?x2

＝

4

5

，
即直线l的斜率为

4

5

，
∴直线l的方程为：y+

6

5

=

4

5

（x-

3

2

），
即4x-5y-12=0．
∴直线l的方程为4x-5y-12=0．