Question

已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线

已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若点A的坐标为（2，1），直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l于点S，T．试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，
故点M的轨迹是以点F为焦点，l为准线的抛物线．…（1分）
∴曲线E的方程为x²=4y．…（2分）
（2）设点B，C的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），依题意得，x₁²=y₁，x₂²=y₂．
y=kx+1代入x²=4y，消去y得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（3分）
直线AB的斜率k_AB=

y1?1

x1?2

=

x1+2

4

，
故直线AB的方程为y-1=

x1+2

4

（x-2）．…（4分）
令y=-1，得x=2-

8

x1+2

，
∴点S的坐标为（2-

8

x1+2

，-1）．…（5分）
同理可得点T的坐标为（2-

8

x2+2

，-1）．…（6分）
∴|ST|²=|2-

8

x1+2

-（2-

8

x2+2

）|²=|

x1?x2

k

|²=

16(k2+1)

k2

．…（8分）
设线段ST的中点坐标为（x₀，-1），
则x₀=

1

2

（2-

8

x1+2

+2-

8

x2+2

）=2-

4(4k+4)

8k

=-

2

k

．…（9分）
∴以线段ST为直径的圆的方程为(x+

2

k

)2+(y+1)2＝

4(k2+1)

k2

．…（10分）
令x=0，得（y+1）²=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，-3）．…（14分）

Answer 2

（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，
故点M的轨迹是以点F为焦点，l为准线的抛物线．…（1分）
∴曲线E的方程为x2=4y．…（2分）
（2）设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意得，x12=y1，x22=y2．
y=kx+1代入x2=4y，消去y得x2-4kx-4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4．…（3分）
直线AB的斜率kAB=
y1−1
x1−2
=
x1+2
4
，
故直线AB的方程为y-1=
x1+2
4
（x-2）．…（4分）
令y=-1，得x=2-
8
x1+2
，
∴点S的坐标为（2-
8
x1+2
，-1）．…（5分）
同理可得点T的坐标为（2-
8
x2+2
，-1）．…（6分）
∴|ST|2=|2-
8
x1+2
-（2-
8
x2+2
）|2=|
x1−x2
k
|2=
16(k2+1)
k2
．…（8分）
设线段ST的中点坐标为（x0，-1），
则x0=
1
2
（2-
8
x1+2
+2-
8
x2+2
）=2-
4(4k+4)
8k
=-
2
k
．…（9分）
∴以线段ST为直径的圆的方程为(x+
2
k
)2+(y+1)2＝
4(k2+1)
k2
．…（10分）
令x=0，得（y+1）2=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，-3）．…（14分）