Question

可降阶的高阶微分方程求解详细过程（5）题（7）题谢谢

Answer 1

（5）解：∵令y''''=p，则y'''''=p'
代入原方程，得 p'-p/x=0
==>dp/p=dx/x
==>ln│p│=ln│x│+ln│120C1│ (C1是常数)
==>p=120C1x
==>y''''=120C1x
==>y'''=60C1x^2+6C2 (C2是常数)
==>y''=20C1x^3+6C2x+2C3 (C3是常数)
==>y'=5C1x^4+3C2x^2+2C3x+C4 (C4是常数)
==>y=C1x^5+C2x^3+C3x^2+C4x+C5 (C5是常数)
∴原方程的通解是y=C1x^5+C2x^3+C3x^2+C4x+C5。
（7）解：∵令y'=p，则y''=p'
代入原方程，得 p'-p=e^(-x)..........(1)
方程(1)是一阶线性方程，由公式得方程(1)的通解是
p=C1e^x-e^(-x)/2 (C1是常数)
==>y‘=C1e^x-e^(-x)/2
==>y=C1e^x+e^(-x)/2+C2 (C2是常数)
∴原方程的通解是y=C1e^x+e^(-x)/2+C2。