Question

求详解谢谢初中数学题

Answer 1

（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，△CPQ与△CAB的面积比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；
（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长；
（3）因为不能确定哪个角是直角，故应分类讨论．①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时．因为△CPQ∽△CAB，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值；②∠PQM=90°时与①相同；③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时，过M作ME⊥PQ，则ME=PQ，根据相似三角形边长的比等于高的比，可求出PQ的值．
【解析过程】
解：（1）∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC=S四边形PABQ，∴S△PQC：S△ABC=1：2，∴，∴CP=×CA=2，（2）∵△PQC∽△ABC，∴，∴，∴CQ=CP，同理，PQ=CP，∴l△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+CP+CP=3CP，l四边形PABQ=PA+AB+BQ+PQ，=4-CP+AB+3-CQ+PQ=4-CP+5+3-CP+CP=12-CP，∴12-CP=3CP，∴CP=；（3）∵AC=4，AB=5，BC=3∴△ABC中AB边上的高为，①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时，如图：∵△CPQ∽△CAB，∴，∴,∴PQ=；②当∠PQM=90°时与①相同③当∠PMQ=90°，且PM=MQ时过M作ME⊥PQ，如图：；则ME=PQ，∴△CPQ的高为-ME=-PQ，∴，∴，∴PQ=,综合①②③可知：点M存在，PQ的长为或。
【答案】
（1）2；（2）；（3）或。
【总结】
本题比较复杂，综合考查了相似三角形及直角三角形的性质，难度较大．希望对你有帮助！