Question

数学分析！！瑕积分收敛的判断！！

判断绝对收敛和条件收敛
顺便能不能告诉我，一般判断瑕积分的收敛性的时候都怎么弄，晕晕的…………好急……谢谢

Answer 1

首先，这里0和+oo都是暇点，要分开处理，比如说把积分区间拆成[0,1]和[1,+oo)然后各自讨论

在[0,1]上|lnx sinx/x|<=|lnx|，而|lnx|的积分是收敛的，所以这一段区间上积分绝对收敛

[1,+oo)上的收敛性和[100,+oo)上的收敛性是一样的，可以考虑后者，这样lnx>0
一方面lnx/x单调趋于0，sinx的积分一致有界，由Abel-Dirichlet判别法可知lnx sinx/x的积分收敛
另一方面，|lnx sinx/x| >= lnx/x sin^2x = lnx/(2x) - lnx/(2x) cos2x
lnx/(2x) cos2x的积分可以由Abel-Dirichlet判别法判定为收敛，lnx/(2x)的积分显然是发散的
所以 lnx sinx/x 在[1,+oo)上条件收敛

组合起来就得到[0,+oo)上的条件收敛性