Question

已知：关于x的一元二次方程x 2 +（n-2m）x+m 2 -mn=0① （1）求证：方程①有两个实数根；（

已知：关于x的一元二次方程x 2 +（n-2m）x+m 2 -mn=0① （1）求证：方程①有两个实数根；（2）若m-n-1=0，求证方程①有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a，当x=2时，关于m的函数y 1 =nx+am与y 2 =x 2 +a（n-2m）x+m 2 -mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y 1 、y 2 的图象分别交于点C、D，当l沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值。

Answer 1

解：（1）证明：△=（n-2m） 2 -4（m 2 -mn）=n 2 ∵n 2 ≥0 ∴△≥0 ∴方程①有两个实数根；
（2）由m-n-1=0，得m-n=1， 当x=1时，等号左边=1+n-2m+m 2 -mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0 等号右边=0 ∴左边=右边 ∴x=1是方程①的一个实数根；
（3）由求根公式，得x= ，x=m或x=m-n ∵m-n-1=0， ∴m-n=1，n=m-1， ∴a=m 当x=2时，y 1 =2n+m 2 =2（m-1）+m 2 =m 2 +2m-2， y 2 =2 2 +2m（n-m-m）+m（m-n）=4+2m（-1-m）+m=-2m 2 -m+4 如图，当l沿AB由点A平移到点B时，CD=y 2 -y 1 =-3m 2 -3m+6=-3（m+ ） 2 + 由y 1 =y 2 ，得m 2 +2m-2=-2m 2 -m+4，解得m=-2或m=1 ∴m A =-2，m B =1 ∵-2<- <1， ∴当m=- 时，CD取得最大值 。