Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（ x+y 1+xy

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（ x+y 1+xy ），且当x＜0时，f（x）＞0；（1）验证函数f（x）=ln 1-x 1+x 是否满足这些条件；（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；（3）若f（- 1 2 ）=1，试解方程f（x）=- 1 2 ．

Answer 1

（1）由 x+y 1+xy ＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）， 又f（x）+f（y）=ln 1-x 1+x +ln 1-y 1+y =ln（ 1-x 1+x ? 1-y 1+y ） =ln 1-x-y+xy 1+x+y+xy =ln 1- x+y 1+xy 1+ x+y 1+xy =f（ x+y 1+xy ） 又当x＜0时，1-x＞1+x＞0 ∴ 1-x 1+x ＞1 ∴ln 1-x 1+x ＞0 故f（x）=ln 1-x 1+x 满足这些条件． （2）这样的函数是奇函数． 令x=y=0， ∴f（0）+f（0）=f（0）， ∴f（0）=0 令y=-x， ∴f（-x）+f（x）=f（0）=0 ∴f（-x）=-f（x） ∴f（x）在（-1，1）上是奇函数． 这样的函数是减函数． ∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（ x-y 1-xy ） 当-1＜x＜y＜1时， x-y 1-xy ＜0，由条件知f（ x-y 1-xy ）＞0，即f（x）-f（y）＞0 ∴f（x）在（-1，1）上是减函数． （3）∵f（- 1 2 ）=1 ∴f（ 1 2 ）=-1 原方程即为2f（x）=-1 即f（x）+f（x）=f（ 2x 1+ x 2 ）=f（ 1 2 ） ∴f（x）在（-1，1）上是减函数 ∴ 2x 1+ x 2 = 1 2 ∴x 2 -4x+1=0 解得x=2 ± 3 又∵x∈（-1，1） ∴x=2- 3