已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）和双曲线x2m2?y2n2＝1（m＞0，n＞0）有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一
已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）和双曲线x2m2?y2n2＝1（m＞0，n＞0）有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点．求证：（1）|PF1|?|PF2...
已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）和双曲线x2m2?y2n2＝1（m＞0，n＞0）有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点．求证：（1）|PF1|?|PF2|＝a2?m2（2）S△F1PF2=bn（3）tan∠F1PF22＝nb．
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解：（1）不妨设P在双曲线的右支上，左、右焦点F1、F2．利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a ①|PF1|-|PF2|=2m ②
由①②得：|PF1|=a+m，|PF2|=a-m．
∴|PF1|?|PF2|=a2-m2．
（2）如图所示，因为椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| m2 |
| y2 |
| n2 |
所以有：a2-b2=m2+n2，
不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=p，|PF2|=q．
由双曲线和椭圆的定义可得 p+q=2a，p-q=2m，
解得 p2+q2=2（a2+m2），pq=a2-m2，
在△PF1F2中，cos∠F1PF2=
| p2+q2?4c2 |
| 2pq |
| b2?n2 |
| 2(a2?m2) |
∴S△F1PF2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1?cos2∠F1PF2 |
（3）tan
| ∠F1PF2 |
| 2 |
| 1?cos∠F1PF2 |
| sin∠F1PF2 |
1?
| ||
|
