Question

数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，Sn和{an}满足等式Sn+1=n+1nSn+n+1，（1）求S2的值；（2）求证：数列{Snn

数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，Sn和{an}满足等式Sn+1=n+1nSn+n+1，（1）求S2的值；（2）求证：数列{Snn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

解答：（1）解：由已知：S₂=2S₁+2=2a₁+2=8…（2分）
（2）证明：∵Sn+1＝

n+1

n

Sn+n+1
同除以n+1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1…（4分）
∴{

Sn

n

}是以3为首项，1为公差的等差数列．…（6分）
（3）解：由（2）可知，Sn＝n2+2n(n∈N*)…（8分）
∴当n=1时，a₁=3…（10分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1…（11分）
经检验，当n=1时也成立∴a_n=2n+1（n∈N^*）…（12分）