Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（　　）A．0B．-4C．-8D．-16

Answer 1

因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）是奇函数，
令x=-3得，f（-3+6）+f（-3）=2f（3），即f（3）-f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=-f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168-4）=f（-4）=-f（4）=-4．
故选B．

Answer 2

因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）是奇函数，令x=-3得，f（-3+6）+f（-3）=2f（3），即f（3）-f（3）=2f（3），解得f（3）=0．所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=-f（x），所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．所以f（2012）=f（12×168-4）=f（-4）=-f（4）=-4．故选B．因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）是奇函数，令x=-3得，f（-3+6）+f（-3）=2f（3），即f（3）-f（3）=2f（3），解得f（3）=0．所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=-f（x），所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．所以f（2012）=f（12×168-4）=f（-4）=-f（4）=-4．故选B．