Question

已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P

已知：如图，等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）

Answer 1

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
∴∠BPE=30°，
而BP=x
∴BE=

1

2

x，
∴EC=2-

1

2

x
在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
∴∠FEC=30°，
∴FC=1-

1

4

x
同理，在△FAQ中可得AQ=

1

2

+

1

8

x
而AQ=y，
∴y=

1

2

+

1

8

x（0＜x≤2）

（2）当点P与点Q重合时，有AQ+BP=AB=2
∴x+y=2（6分）
∴x+y=2，y=

1

2

+

1

8

x，解得：x=

4

3

∴当BP的长为

4

3

时，点P与点Q重合；

（3）解：设三角形的周长为C，
当线段PE，FQ相交时，因为∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由线段PE，EF，FQ所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于EF长，
由勾股定理得：EF=

3

CF=

3

（1-

x

4

）；
所以线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长为：C=3EF=3

3

（1-

x

4

）．
而当线段PE，FQ相交时，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x+

x

8

+

1

2

≥2，x≥

4

3

；
所以当线段PE，FQ相交时，（

4

3

≤x≤2）
因为C=3

3

（1-

x

4

）中，C随x增大而减小．
所以3

3

（1-

2

4

）≤C≤3

3

（1-

3 4

4

），即

3 3

2

≤C≤2

3

；
所以当线段PE，FQ相交时，线段PE，EF，FQ所围成的三角形周长C的取值范围为

3 3

2

≤C≤2

3

．