Question

求一个线性代数的一个小小证明题的解法。。。。。。大神快来救我TT

Answer 1

A正交，A特征值为+1或-1，又因为A的行列式等于特征值的积，为-1
所以，A有-1特征值，
没法用数学符号，你根据我写的用数学符号一写就出来了

追问

soga。。。

追答

谢谢你，这是我第二个被采纳的回答，真高兴

追问

哈哈^_^，你回答的又快又好，当然要采纳啦

Answer 2

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。
即有 Ax = λx，且 x≠0。
两边取转置, 得 x^TA^T = λx^T；
所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx；
因为A是正交矩阵， 所以 A^TA=E；
所以 x^Tx = λ^2x^Tx；
由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数；
故 λ^2=1，
所以 λ=1或-1。
det(A)=-1，又由det(A)等于矩阵特征值乘积，所以-1一定是A的一个特征值。