Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。 （1）试说明△ABD≌△BCE

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。 （1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由；（3）BD 2 =AD·DF成立吗？若成立，请说明理由。

Answer 1

（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠BCE，再结合BD=CE即可证得结论；（2）相似；（3）成立

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠BCE，再结合BD=CE即可证得结论； （2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可得∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，即可证得结论； （3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，即可证得△BDF∽△ADB，再根据相似三角形的性质求解即可. （1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BCE， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE； （2）△AEF与△ABE相似． 由（1）得：∠BAD=∠CBE， 又∵∠ABC=∠BAC， ∴∠ABE=∠EAF， 又∵∠AEF=∠BEA， ∴△AEF∽△BEA； （3）成立 由（1）得：∠BAD=∠FBD， 又∵∠BDF=∠ADB， ∴△BDF∽△ADB， ∴ ，即BD 2 =AD?DF． 点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.