Question

如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∠A1=______°；（2

如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A1．（1）当∠A为70°时，∠A1=______°；（2）如图2，∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4，请写出∠A与∠A4的数量关系______；（3）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，试求∠Q与∠A1的数量关系．

Answer 1

（1）由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于A₁，
∴∠A₁CD=

1

2

∠ACD，∠A₁BC=

1

2

∠ABC，
∴∠A₁+∠A₁BC=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°；

（2）由（1）同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁，
∠A₃=

1

2

∠A₂，
∠A₄=

1

2

∠A₃，
∴∠A=16∠A₄；
故答案为：35；∠A=16∠A₄．

（3）∵EQ、CQ分别为∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC=

1

2

∠AEC，∠QCE=

1

2

∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-

1

2

（∠AEC+∠ACE），
=180°-

1

2

∠BAC，
由（1）可知∠BAC=2∠A₁，
∴∠Q=180°-∠A₁，
∴∠Q+∠A₁=180°．