Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. （1）证明PA//平面BDE

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. （1）证明PA//平面BDE； （2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） （Ⅲ）存在

（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分 B（2，2，0）    设 是平面BDE的一个法向量， 则由                  ………………4分 ∵    …………5分 （2）由（Ⅰ）知 是平面BDE的一个法向量，又 是平面DEC的一个法向量.                                      ………………7分 设二面角B—DE—C的平面角为 ，由图可知 ∴ 故二面角B—DE—C的余弦值为                                                    ………………10分 （3）∵ ∴ 假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设 ， 则 ， 由                              ………………13分 ∴                                                     ………………14分 即在棱PB上存在点F， PB，使得PB⊥平面DEF           ………………15分 用几何法证明酌情给分