Question

是否存在a、b、c使得等式1?22+2?32+…+n（n+1）2=n(n+1)12（an2+bn+c）

是否存在a、b、c使得等式1?22+2?32+…+n（n+1）2=n(n+1)12（an2+bn+c）．

Answer 1

假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有

4＝ 1 6 (a+b+c) 22＝ 1 2 (4a+2b+c) 70＝9a+3b+c

解得：

a＝3 b＝11 c＝10

．
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1?2²+2?3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

(3n2+11n+10)
记S_n=1?2²+2?3²+…+n（n+1）²
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即S_k=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）
那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²=

k(k+1)

12

（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．