Question

已知二次函数y=x 2 -kx+k-5．（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）若此

已知二次函数y=x 2 -kx+k-5．（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式；（3）若（2）中的二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于点C；D是第四象限函数图象上的点，且OD⊥BC于H，求点D的坐标．

Answer 1

（1）证明：对于二次方程：x 2 -kx+k-5=0， 有△=（-k） 2 -4k+20=k 2 -4k+4+16=（k-2） 2 +16＞0； 可得其必有两个不相等的根； 故无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点． （2）若此二次函数图象的对称轴为x=1， 则对称轴的方程为- 1 2 （-k）=1，k=2； 易得它的解析式为y=x 2 -2x-3． （3）若函数解析式为y=x 2 -2x-3； 易得其与x轴的交点坐标为A（-1，0）B（3，0）； 与y轴的交点C的坐标为（0，-3）； BC的解析式为：y=x-3； 设D的坐标为（x，x 2 -2x-3），由OD⊥BC，图象过（0，0），则OD的解析式为：y=-x， 易得x 2 -2x-3=-x； 故x= 13 +1 2 ， 解可得D的坐标为（ 13 +1 2 ，- 13 +1 2 ）