Question

已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N两点．（1）求

已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N两点．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB；（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些还成立？请简要说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵等边△ADC和等边△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC＝DC ∠ACE＝∠DCB CE＝BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中，

∠ECB＝∠ECM ∠AEC＝∠CBD EC＝BC

，
∴△EMC≌△BNC（AAS），
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠BCE=∠MNC=60°，
∴MN∥AB；
（3）解：结论（1）成立，理由如下：
不论旋转多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，

AC＝CD ∠DCA＝∠ECB BC＝CE

，
∴△ACE≌△BNC（SAS），
∴AE=BD．