Question

xsinx是否为x趋向于无穷时的无穷大

Answer 1

不一定。

当x趋于无穷大时，函数sinx的值为[-1，1]中的每一个实数。这些实数在x趋于无穷大的过程中，我们可将其分为两类：一类是使得sinx不等于0的x，一类是使得sinx等于0的x。当x不等于0时，函数xsinx趋于无穷大（可能是正无穷大，也可能是负无穷大）。

当x=0时，函数xsinx=0。可见，在x趋于无穷大的过程中，函数xsinx取值一直在无穷大（可能是正无穷大，也可能是负无穷大）与0之间跳动，并没有恒定的朝着某一个点（或某一个方向）无限趋近。因此，在x趋于无穷大的过程中，函数xsinx不存在极限。

性质：

两个无穷大量之和不一定是无穷大。

有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）。

有限个无穷大量之积一定是无穷大。

另外，一个数列不是无穷大量，不代表它就是有界的（如，数列1，1/2，3，1/3，……）。

Answer 2

不一定。当x趋于无穷大时，函数sinx的值为[-1，1]中的每一个实数。这些实数在x趋于无穷大的过程中，我们可将其分为两类：一类是使得sinx不等于0的x，一类是使得sinx等于0的x。当x不等于0时，函数xsinx趋于无穷大（可能是正无穷大，也可能是负无穷大）。当x=0时，函数xsinx=0。可见，在x趋于无穷大的过程中，函数xsinx取值一直在无穷大（可能是正无穷大，也可能是负无穷大）与0之间跳动，并没有恒定的朝着某一个点（或某一个方向）无限趋近。因此，在x趋于无穷大的过程中，函数xsinx不存在极限。