Question

求函数y=（x²-x）除以（x²-x+1）的值域

过程

Answer 1

解令（x²-x）/（x²-x+1）=t
则x^2-x=tx^2-tx+t
则(t-1)x^2+(1-t)x+t=0...............①
当t=1时，方程变为为1=0该方程不成立
当t≠1时，方程①为二次方程，该方程有解
则Δ≥0
即(1-t)^2-4(t-1)t≥0
即t^2-2t+1-4t^2+4t≥0
即3t^2-2t-1≤0
即(3t+1)(t-1)≤0
解得-1/3≤t≤1
故-1/3≤t＜1
故综上知t的范围为[-1/3,1)
函数值域为[-1/3,1).

Answer 2

求函数y=(2x²-2x+3)/(x²-x+1)的值域
∵分母x²-x+1=x²-2*1/2*x+1/4+1-1/4=(x-1/2)²+3/4＞3/4＞0
变换得 y(x²-x+1)=2x²-2x+3，整理得(y-2)x²-(y-2)x+(y-3)=0
此关于x的方程有实数解，须△=b²-4ac≥0
即(y-2)²-4(y-2)(y-3)=(y-2)[y-2-4(y-3)]=(y-2)(10-3y)≥0
解得2≤y≤10/3，此即为y的值域[2，10/3]

追问

可是答案是[-1/3,1)啊？