Question

已知椭圆C的两焦点为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），并且经过点 M(1 ， 3 2 ) ．（1）求椭圆C的

已知椭圆C的两焦点为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），并且经过点 M(1 ， 3 2 ) ．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x 2 +y 2 =1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

（1）解法一：设椭圆C的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ， 由椭圆的定义知： 2a= (1+1) 2 + ( 3 2 -0) 2 + (1-1) 2 + ( 3 2 -0) 2 =4 ， c=1 ，  b 2 = a 2 - c 2 =3 得 a=2，b= 3 故C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． 解法二：设椭圆C的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ， 依题意，a 2 =b 2 +1①，将点 M(1， 3 2 ) 坐标代入得 1 2 a 2 + ( 3 2 ) 2 b 2 =1 ② 由①②解得a 2 =4，b 2 =3，故C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． （2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以 m 2 4 + n 2 3 =1 ，则 m 2 + n 2 ＞ m 2 4 + n 2 3 =1 ， 从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离 d= 1 m 2 + n 2 ＜1=r ， 所以直线l与圆O相交． 直线l被圆O所截的弦长为 L=2 1- d 2 =2 1- 1 m 2 + n 2 = 2 1- 1 m 2 +3(1- m 2 4 ) =2 1- 1 1 4 m 2 +3 ∵ 0≤ m 2 ≤4∴3≤ 1 4 m 2 +3≤4， 1 4 ≤ 1 1 4 m 2 +3 ≤ 1 3 ，∴ 2 6 3 ≤L≤ 3 ．