Question

已知函数f（x）=2 3 sinxcosx+2co s 2 x-1(x∈R) ．（1）求函数f（x）的最小正周期及在

已知函数f（x）=2 3 sinxcosx+2co s 2 x-1(x∈R) ．（1）求函数f（x）的最小正周期及在 [0， π 2 ] 上的单调递增区间；（2）若f（x 0 ）= 6 5 ，x 0 ∈ [ π 4 ， π 2 ] ，求cos2x 0 的值．

Answer 1

（1）由数f（x）=2 3 sinxcosx+2cos 2 x-1，得 f（x）= 3 sin2x+cos2x=2sin（2x+ π 6 ）， 所以函数f（x）的最小正周期为π； ∵2kπ- π 2 ＜2x+ π 6 ＜2kπ+ π 2 ，k∈Z ∴x∈（kπ- π 3 ，kπ+ π 6 ），k∈Z 又x∈[0， π 2 ]，f（x）=2sin（2x+ π 6 ）在[0， π 2 ]上的单调递增区间为（0， π 6 ）； （2）由（1）知，f（x 0 ）=2sin（2x 0 + π 6 ）， ∵f（x 0 ）= 6 5 ， ∴sin（2x 0 + π 6 ）= 3 5 ， 由x 0 ∈[ π 4 ， π 2 ]，得2x 0 + π 6 ∈[ 2π 3 ， 7π 6 ]． 从而cos（2x 0 + π 6 ）=- 1 -sin 2 ( 2x 0 + π 6 ) =- 4 5 ∴cos2x 0 =cos[（2x 0 + π 6 ）- π 6 ] =cos（2x 0 + π 6 ）cos π 6 +sin（2x 0 + π 6 ）sin π 6 = 3-4 3 10 ．