Question

已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与

已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1?x2-x12-x22的最大值．

Answer 1

（1）由（x-m）²+6x=4m-3，得x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0．…（1分）
∴△=b²-4ac=（6-2m）²-4×1×（m²-4m+3）=-8m+24．…（3分）
∵方程有实数根，
∴-8m+24≥0．解得 m≤3．
∴m的取值范围是m≤3．…（4分）

（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，由根与系数的关系，得
∴x₁+x₂=2m-6，x1?x2＝m2?4m+3，…（5分）
∴x1x2?x12?x22＝3x1x2?(x1+x2)2
=3（m²-4m+3）-（2m-6）²
=-m²+12m-27
=-（m-6）²+9…（7分）
∵m≤3，且当m＜6时，-（m-6）²+9的值随m的增大而增大，
∴当m=3时，x1?x2?x12?x22的值最大，最大值为-（3-6）²+9=0．
∴x1?x2?x12?x22的最大值是0．…（10分）